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 "cells": [
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   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 第五节 含参变量的积分\n",
    "\n",
    "设 $ f(x, y) $ 是矩形（闭区域）$ R = [a, b] \\times [c, d]$上的连续函数。在 $ [a, b] $上任意取定 $ x $ 的一个值，于是 $f(x, y) $ 是变量 $ y $ 在 $ [c, d] $上的一个一元连续函数，从而积分\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\int_c^d f(x, y) \\, dy\n",
    "$\n",
    "\n",
    "存在，这个积分的值依赖于取定的 $ x $ 值。当 $ x $的值改变时，一般说来这个积分的值也跟着改变。这个积分确定一个定义在 $[a, b] $ 上的 $x $ 的函数，把它记作 $ \\varphi(x) $，即\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\varphi(x) = \\int_c^d f(x, y) \\, dy \\quad (a \\leq x \\leq b). \\quad (5-1)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "这里变量 $ x $ 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量，因此 (5-1) 式右端是一个含参变量 $ x $ 的积分，这积分确定 $ x $ 的一个函数 $ \\varphi(x) $，下面讨论关于 $ \\varphi(x) $ 的一些性质。\n",
    "\n",
    "**定理 1** 如果函数 $ f(x, y) $ 在矩形 $ R = [a, b] \\times [c, d] $ 上连续，那么由积分 (5-1) 确定的函数 $ \\varphi(x) $ 在 $ [a, b] $ 上也连续。\n",
    "\n",
    "**证明** 设 $ x $ 和 $ x + \\Delta x $ 是 $ [a, b] $ 上的两点，则\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\varphi(x + \\Delta x) - \\varphi(x) = \\int_c^d \\left[ f(x + \\Delta x, y) - f(x, y) \\right] \\, dy. \\quad (5-2)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "由于 $ f(x, y) $ 在闭区域 $ R $ 上连续，从而一致连续。因此对于任意取定的 $ \\varepsilon > 0 $，存在 $ \\delta > 0 $，使得对于 $ R $ 内的任意两点 $ (x_1, y_1) $ 及 $ (x_2, y_2) $，只要它们之间的距离小于 $ \\delta $，即\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} < \\delta,\n",
    "$\n",
    "\n",
    "就有\n",
    "\n",
    "$\n",
    "|f(x_2, y_2) - f(x_1, y_1)| < \\varepsilon.\n",
    "$\n",
    "\n",
    "因为点 $ (x + \\Delta x, y) $与 $ (x, y) $ 的距离等于 $ |\\Delta x| $，所以当 $|\\Delta x| < \\delta $ 时，就有\n",
    "\n",
    "$\n",
    "|f(x + \\Delta x, y) - f(x, y)| < \\varepsilon,\n",
    "$\n",
    "\n",
    "于是由 (5-2) 式有\n",
    "\n",
    "$\n",
    "|\\varphi(x + \\Delta x) - \\varphi(x)| \\leq \\int_c^d |f(x + \\Delta x, y) - f(x, y)| \\, dy < \\varepsilon (d - c).\n",
    "$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "所以 $\\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。\n",
    "\n",
    "既然函数 $\\varphi(x)$在 $[a, b]$ 上连续，那么它在 $[a, b]$ 上的积分存在，这个积分可以写为\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\int_a^b \\varphi(x) \\, dx = \\int_a^b \\left[ \\int_c^d f(x, y) \\, dy \\right] \\, dx = \\int_a^b dx \\int_c^d f(x, y) \\, dy\n",
    "$\n",
    "\n",
    "右端积分是函数 $f(x, y)$ 先对 $y$ 后对 $x$ 的二次积分。当 $f(x, y)$ 在矩形 $R$ 上连续时，$f(x, y)$ 在 $R$ 上的二重积分 $\\iint_R f(x, y) \\, dx \\, dy$ 是存在的，这个二重积分化为二次积分来计算时，如果先对 $y$ 后对 $x$ 积分，就是上面的这个二次积分。但二重积分 $\\iint_R f(x, y) \\, dx \\, dy$ 也可化为先对 $x$ 后对 $y$ 的二次积分 $\\int_c^d \\left[ \\int_a^b f(x, y) \\, dx \\right] \\, dy$，因此有下面的定理 2。\n",
    "\n",
    "**定理 2** 如果函数 $f(x, y)$ 在矩形$ R = [a, b] \\times [c, d]$ 上连续，那么\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\int_a^b \\left[ \\int_c^d f(x, y) \\, dy \\right] \\, dx = \\int_c^d \\left[ \\int_a^b f(x, y) \\, dx \\right] \\, dy. \\quad (5-3)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "公式 (5-3) 也可写成                                                                                                                               \n",
    "$\n",
    "\\int_a^b \\, dx \\int_c^d f(x, y) \\, dy = \\int_c^d \\, dy \\int_a^b f(x, y) \\, dx. \\quad (5-3')\n",
    "$\n",
    "\n",
    "下面考虑由积分 (5-1) 确定的函数 $\\varphi(x)$ 的微分问题。\n",
    "\n",
    "**定理 3** 如果函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $f_x(x, y)$ 都在矩形 $R = [a, b] \\times [c, d]$ 上连续，那么由积分 (5-1) 确定的函数 $\\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微分，并且\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\varphi'(x) = \\frac{d}{dx} \\int_c^d f(x, y) \\, dy = \\int_c^d f_x(x, y) \\, dy. \\quad (5-4)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "**证明** 因为 $\\varphi'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{\\varphi(x + \\Delta x) - \\varphi(x)}{\\Delta x}$，为了求 $\\varphi'(x)$，先利用公式 (5-2) 作出增量之比\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\frac{\\varphi(x + \\Delta x) - \\varphi(x)}{\\Delta x} = \\int_c^d \\frac{f(x + \\Delta x, y) - f(x, y)}{\\Delta x} \\, dy. \\quad (5-5)\n",
    "$\n",
    "\n",
    "由拉格朗日中值定理以及 $f_x(x, y)$ 的一致连续性，可得\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\frac{f(x + \\Delta x, y) - f(x, y)}{\\Delta x} = f_x(x + \\theta \\Delta x, y) = f_x(x, y) + \\eta(x, y, \\Delta x),\n",
    "$\n",
    "\n",
    "其中 \\(0 < \\theta < 1\\)，\\(|\\eta|\\) 可小于任意给定的正数 \\(\\varepsilon\\)，只要 \\(|\\Delta x|\\) 小于某个正数 \\(\\delta\\)。因此\n",
    "\n",
    "$\n",
    "\\left| \\int_c^d \\eta(x, y, \\Delta x) \\, dy \\right| < \\int_c^d \\varepsilon \\, dy = \\varepsilon (d - c) \\quad (|\\Delta x| < \\delta).\n",
    "$"
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   "name": "python"
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